已知定义域为R的函数f(x)=a•2x-12x+1是奇函数．（1）求a的值；（2

问题解答题

已知定义域为R的函数f(x)=

a•2x-1

2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

答案

（1）f（-x）=-f（x）⇒f（0）=0

则

a-1

1+1

=0⇒a=1

（2）f（x）为递增函数

任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

2x2-1

2x2+1

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0

∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）为递增函数

（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对t∈[-2，2]恒成立

则f（t²-2t）＜-f（2t²-k）对t∈[-2，2]恒成立

因为f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）

则f（t²-2t）＜f（-2t²+k）对t∈[-2，2]恒成立

又因为f（x）为递增函数

所以t²-2t＜-2t²+k对t∈[-2，2]恒成立

即3t²-2t-k＜0对t∈[-2，2]恒成立

令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，当x=-2时，u_max=16-k

则16-k＜0，则k＞16