问题
解答题
函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（xm）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（1）证明：令x=am，y=an，则f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a）=m+n，
同理，f（x）+f（y）=m+n，∴得证
（2）证明：任设x1，x2∈R+，x1＞x2，可令，x1=x2t（t＞1），t=aα（α＞0）
则f（x1）-f（x2）=f（x2t）-f（x2）=f（x2）+f（t）-f（x2）=f（t）=f（aα）=αf（a）=α＞0
即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在正实数集上单调递增
（3）f（x）+f（3-x）≤2可化成，f（x）+f（3-x）≤2f（a）
即f（x）+f（3-x）≤f（a2），
即
，即f[(x)(3-x)]≤f(a2) 0＜x＜3
，而当0＜x＜3时，[x(3-x)]max=x(3-x)≤a2 0＜x＜3 9 4
依题意，有a2≥
，又a＞1∴a≥9 4
．3 2