解析：（1）函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=

1

2

（1-cos2x）+sin2x+

3

2

（1+cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，

由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，

∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．

（2）在△ABC中，∵f（C）=

2

sin（2C+

π

4

）+2=3，∴sin（2C+

π

4

）=

2

2

，∴C=

π

4

．

由c=

2

，a=2 以及正弦定理得：

c

sinC

=

a

sinA

，解得 sinA=1，A=

π

2

，故 B=C=

π

4

，

故 b=c=

2

．