问题 解答题

已知函数f(x)=-x3+3x.

(1)判断f(x)的奇偶性,证明你的结论;

(2)当a在何范围内取值时,关于x的方程f(x)=a在x∈(-1,1]上有解?

答案

(1)证明:显然f(x)的定义域是R.设x∈R,

∵f(-x)=-(-x)3+3(-x)=-(-x3+3x)=-f(x),

∴函数f(x)是奇函数.

(2)设-1<x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2)=(-x13+3x1)-(-x23+3x2)=(x1-x2)[3-(x12+x1x2+x22)]

∵x1<x2,3-(x12+x1x2+x22)>0

∴f(x1)-f(x2)<0,

∴f(x)在(-1,1]上是增函数.

∴函数f(x)=-x3+3x的值域是(-2,2].

∴当a在(-2,2]内取值时,关于x的方程f(x)=a在x∈(-1,1]上有解.

单项选择题
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