问题
解答题
设函数f(x)=x+
（1）求证：函数f（x）是奇函数； （2）试用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，a]单调递减； （3）试判断（不必证明）函数f（x）在定义域上的单调性． |
答案
（1）证明：因为f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f(-x)=-x-
=-f(x)，a2 x
故f（x）是奇函数；
（2）证明：设0＜x1＜x2≤a，则f(x1)-f(x2)=x1+
-x2-a2 x1
=(x1-x2)(1-a2 x2
)．a2 x1x2
因为0＜x1＜x2≤a，所以0＜x1x2＜a2，从而1-
＜0且x1-x2＜0，故f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．a2 x1x2
因此函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；同理可以证明函数f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
（3）∵f（x）是奇函数；在区间（0，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，
综上所述：函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．