（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（-x）=-f（x）恒成立，即

x2+c

-ax+b

=-

x2+c

ax+b

恒成立，

可得b=0（2分）

（2）∵π≤x≤2π，

∴-1≤sinx≤0，-1≤cosx≤1，

∴-2≤sinx-1≤-1，2≤cosx+3≤4

又∵f（sinx-1）≥0，f（cosx+3）≥0恒成立，

∴f（-2）≥0且f（2）≥0，

∵f（x）是奇函数，

∴由f（-2）≥0可得f（2）≤0，

∴f（2）=0（6分）

∴由f(2)=

4+c

2a

=0，及f(1)=

1+c

a

=-3，得c=-4，a=1，

∴f(x)=

x2-4

x

（8分）

（3）∵f（x）是奇函数得f（tm）＜f（t²+m+1），

又∵f(x)=

x2-4

x

=x-

4

x

在（0，+∞）是增函数，m＞0，t＞0，

∴tm＞0，m+1+t²＞0∴tm＜t²+m+1，∴（t-1）m＜t²+1，（10分）

∵t∈（1，2]∴t-1＞0，

∴m＜

t2+1

t-1

在t∈（1，2]上恒成立

设k=t-1，则k∈（0，1]且t²+1=k²++2k+2，设g(k)=

k2+2k+2

k

=k+

2

k

+2，

则g（k）在k∈（0，1]上单调递减，

∴g（k）_min=g（1）=5，∴m＜5，

又m＞0，所以0＜m＜5（12分）