问题
解答题
设a、b、c都是整数，过圆x2+y2=（3a+1）2外一点P（b3-b，c3-c）向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点）．
答案
∵P（b3-b，c3-c），O（0，0），
∴线段OP的中点的坐标为（
（b3-b），1 2
（c3-c）），1 2
∴以OP为直径的圆的方程为：[x-
（b3-b）]2+[y-1 2
（c3-c）]2=1 2
（b3-b）2+1 4
（c3-c）2，（1）1 4
将x2+y2=（3a+1）2代入（1）得：（b3-b）x+（c3-c）y=（3a+1）2，它就是过两切点的直线方程，
假设此切线方程存在格点，
由b3-b=b（b-1）（b+1），得到它为三个连续数的乘积，显然能被3整除，
同理，c3-c亦能被3整除，
∴（3a+1）2能被3整除，
∴3a+1也必须能被3整除，
显然这是不可能的，
则过这两切点的直线上的任意一点都不是格点．