问题
解答题
| 已知函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1时，f（x）＞0恒成立． （1）求f（1）； （2）证明方程f（x）=0有且仅有一个实根； （3）若x∈[1，+∞）时，不等式f（
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答案
（1）∵定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；（2分）
证明：（2）任取0＜x1＜x2，则
＞1，则题意得f（x2 x1
）＞0x2 x1
又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x2）-f（x1）=f（
）＞0x2 x1
∴f（x2）＞f（x1）
∴函数f（x）在其定义域内为增函数，由（1）和f（1）=0，
所以1为方程f（x）=0的一个实根，若还存在一个x0，且x0＞0，使得f（x0）=0，
因为函数f（x）在其定义域内为增函数，必有x0=1，故方程f（x）=0有且仅有一个实根；（8分）
（3）由（2）知函数f（x）在其定义域内为增函数
当x∈[1，+∞）时，不等式f（
）＞0=f（1）恒成立，即x2+2x+a x
＞1恒成立x2+2x+a x
即x2+2x+a＞x，即a＞-x2-x在x∈[1，+∞）时恒成立
∵-x2-x在x∈[1，+∞）时最大值为-2
∴a＞-2（14分）