（1）∵f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且f(

1

2

)=

a 2 +b

1+( 1 2 )2

=

2

5

∴f(-

1

2

)=

- a 2 +b

1+(- 1 2 )2

=-f(

1

2

)=-

2

5

，解得：a=1，b=0．

∴f(x)=

x

1+x2

（2）证明：在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∵-1＜x₁＜x₂＜1

∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（1+x₁²）＞0，（1+x₂²）＞0

∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）

故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．

（3）∵f（t-1）+f（t）＜0

∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）

∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数

∴

t＜1-t -1＜t＜1 -1＜1-t＜1

∴0＜t＜

1

2

故关于t的不等式的解集为(0，

1

2

)．