问题 解答题

设a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调函数.

(1)求实数a的取值范围;

(2)设x0≥1,f(x0)≥1,且f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0

答案

(1)f′(x)=3x2-a

若f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数,

则须y′≤0,即α≥3x2恒成立,

这样的实数a不存在,

故f(x)在[1,+∞)上不可能是单调递减函数;

若f(x)在[1,+∞)]上是单调递增函数,则a≤3x2恒成立,

由于x∈[1,+∞),故3x2≥3,解可得a≤3,

又由a>0,则a的取值范围是0<a≤3;

(2)(反证法)由(1)可知f(x)在[1,+∞)上只能为单调递增函数.

假设f(x0)≠x0,若1≤x0<f(x0),则f(x0)<f(f(x0))=x0,矛盾; …(8分)

若1≤f(x0)<x0,则f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0),矛盾,…(10分)

故只有f(x0)=x0成立.

单项选择题
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