（1）f（x）为奇函数．

  令x=y=0，代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)有，

  2f（0）=f（0），f（0）=0；

  令y=-x，代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)得：

  f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定义域易知其满足）

∴f（x）=-f（-x），得证．

（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，

f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)，

由题设知，必有-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜1

又x₁-x₂＜0，由x₁，x₂∈（-1，1），可得-x₁•x₂∈（-1，1），所以1-x₁•x₂＞0，

所以-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜0，又x∈（-1，0）时f（x）＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)＞0

∴f（x₁）＞f（x₂）

即f（x）在（-1，1）上是减函数；

（3）∵f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0，f（x）为奇函数，

∴f(x+

1

2

) ＞f(

1

x-1

)，函数y=f（x）定义在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，

∴

-1＜x+ 1 2 ＜ 1 -1＜ 1 x-1 ＜1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

解得：-

3

2

＜x＜-1

∴不等式的解集为：{x|-

3

2

＜x＜-1}．