问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明； （2）求证函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数． |
答案
由题意知：
（1）f（x）是奇函数．
证明：∵对∀x∈R
有f(-x)=
=2-x-1 2-x+1
=(2-x-1)2x (2-x+1)2x
=-f(x)1-2x 1+2x
∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数
（2）任取x1，x2∈R，设x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=
-2x1-1 2x1+1
=2x2-1 2x2+1
=(2x1-1)(2x2+1)-(2x1+1)(2x2-1) (2x1+1)(2x2+1) 2(2x1-2x2) (2x1+1)(2x2+1)
∵x1＜x2且f（x）=2x为增函数，
∴2x1 ＜2x2
又∵(2x1+1)＞0；(2x2+1)＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
故：函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．