（1）由定义知f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）

∴f（1，3）=（1+1）³=8，f（2，2）²=9∴f（1，3）＜f（2，2）．

（2）f（x-1，y）=x^y，f（y-1，x）=y^x

要证f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要证x^y＞y^x

∵xy＞yx⇔ylnx＞xlny⇔

lnx

x

＞

lny

y

令h(x)=

lnx

x

，则h′(x)=

1-lnx

x2

，当x＞e时，h'（x）＜0

∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．

∵e＜x＜y∴h（x）＞h（y）即

lnx

x

＞

lny

y

∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．

（3）由题意知：g（x）=x³+ax₂+bx+1，且g'（x₀）=k

于是有3x₀²+2ax₀+b=-4在x₀∈（1，1-a）上有解．

又由定义知log₂（x₀³+ax₀²+bx₀+1）＞0即x₀³+ax₀²+bx₀＞0

∵x₀＞1∴x₀²+ax₀＞-b

∴x₀²+ax₀＞3x₀²+2ax₀+4即ax₀＜-2（x₀²+2）

∴a＜-2(x0+

2

x0

)在x₀∈（1，1-a）有解．

设V(x0)=x0+

2

x0

，x0∈(1，1-a)

①当1-a＞

2

即a＜1-

2

时，V(x0)=x0+

2

x0

≥2

2

．

当且仅当x0=

2

时，V(x0)min=2

2

∴当x0=

2

时，-2(x0+

2

x0

)max=-4

2

∴a＜-4

2

．

②当1＜1-a≤

2

时，即1-

2

≤a＜0时，V(x0)=x0+

2

x0

在x₀∈（1，1-a）上递减，

∴x0+

2

x0

＞1-a+

2

1-a

．∴a＜-2[(1-a)+

2

1-a

]整理得：a²-3a+6＜0，无解．

综上所述，实数a的取值范围为(-∞，-4

2

)．