因为函数f(x)=

x+a

x2+bx+1

是奇函数，且定义域为[-1，1]，

所以

f(0)=a=0 f(-1)= -1 2-b =-f(1)=- 1 2+b

，解得

a=0 b=0

，

所以f(x)=

x

x2+1

，

f（x）在x∈[-1，1]上是增函数，下面证明：

设x₁，x₂是定义域内的任意两实数，且x₁＜x₂，

所以f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，

因为-1≤x1＜x2≤1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，

所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

所以函数f（x）在[-1，1]上是增函数．