问题
解答题
已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=
（1）求椭圆的方程； （2）若点A（x0，y0）为圆x2+y2=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）． |
答案
（1）由题意，设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)y2 b2
∵e=
，∴6 3
=a2-b2 a2
，∴a2=3b22 3
∵椭圆过点P（1，1），∴
+1 a2
=11 b2
∴a2=4，b2=4 3
∴椭圆的方程为
+x2 4
=1；3y2 4
（2）证明：由题意可求得切线方程为x0x+y0y=1
①若y0=0，则切线为x=1（或x=-1），则B（1，1），C（1，-1），∴CO⊥OB（当x=-1时同理可得）；
②当y0≠0时，切线方程为x0x+y0y=1，与椭圆联立并化简得(3x02+y02)x2-6x0x+3-4y02=0
∴x1+x2=
，x1x2=6x0 3x02+y02 3-4y02 3x02+y02
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2+y1y2=(1+
)x1x2-x02 y02
(x1+x2)+x0 y02 1 y02
=(1+
)×x02 y02
-3-4y02 3x02+y02
×x0 y02
+6x0 3x02+y02
=01 y02
∴CO⊥OB