问题
解答题
已知圆O的方程为x2+y2=16．
（1）求过点M（-4，8）的圆O的切线方程；
（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率．
答案
（1）∵圆O的方程为x2+y2=16，
∴圆心为O（0，0），半径r=4，
设过点M（-4，8）的切方程为y-8=k（x+4），即kx-y+4k+8=0，（1分）
则
=4，解得k=-|4k+8| k2+1
，（3分）3 4
切线方程为3x+4y-20=0（5分）
当斜率不存在时，x=-4也符合题意．
故求过点M（-5，11）的圆C的切线方程为：3x+4y-20=0或x=-4．（6分）
（2）当直线AB的斜率不存在时，S△ABC=3
，（7分）7
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
圆心O（0，0）到直线AB的距离d=
，（9分）3|k| k2+1
线段AB的长度|AB|=2
，16-d2
∴S△ABC=
|AB|d=d1 2
=16-d2
≤d2(16-d2)
=8．（11分）d2+(16-d2) 2
当且仅当d2=8时取等号，此时
=8，解得k=±29k2 k2+1
．2
所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2
．（12分）2