问题
解答题
定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由； （3）若f(
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答案
（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
)x2-x1 1-x1x2
而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴
＞0，x2-x1 1-x1x2
又因为1-x2＞0，1+x1＞0
∴（1-x2）（1+x1）=1-x1x2-x2+x1＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴
＜1x2-x1 1-x1x2
∴0＜
＜1，x2-x1 1-x1x2
所以f(
)＞0．即当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），x2-x1 1-x1x2
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f(
)-f(2 3
)=f(1 7
)即f(11 19
)=f(2 3
)+f(1 7
)11 19
∵f(
)+f(1 9
)=f(1 7
)即-f(1 4
)=f(1 9
)-f(1 7
)1 4
∵f(
)+f(1 17
)=f(1 7
)即-2f(1 5
)=2f(1 17
)-2f(1 7
)1 5
又∵f(
)+f(1 4
)+f(1 5
)=f(1 5
)+f(3 7
)=f(1 5
)11 19
∴f(
)-f(2 3
)-2f(1 9
)=f(1 17
)+f(1 7
)+f(1 19
)-f(1 7
)+2f(1 4
)-2f(1 7
)1 5
∴f(
)-f(2 3
)-2f(1 9
)=4f(1 17
)=1 7
（14分）4 3