解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2，2y）

∵P点在圆x²+y²=4上，

∴（2x-2）²+（2y）²=4

故线段AP中点的轨迹方程为（x-1）²+y²=1。

（2）设PQ的中点为N（x，y），

在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，

设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²，

所以x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4

故PQ中点N的轨迹方程为x²+y²-x-y-1=0。