在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论。
解:(1)显然b≠0
否则,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0),(-2,0),这与题设不符
由b≠0知,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0,b),故它与x轴必有两个交点,从而方程x2+2x+b=0有两个不相等的实数根,因此方程的判别式4-4b>0,即b<1
所以b的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)。
(2)由方程x2+2x+b=0,得
于是,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与坐标轴的交点是
设圆C的方程为
因圆C过上述三点,将它们的坐标分别代入圆C的方程,得
解上述方程组,因b≠0,得
所以,圆C的方程为。
(3)圆C过定点,证明如下:
假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程,并变形为
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1-y0=0,结合(*)式得
解得
经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆C上,因此,圆C过定点。