问题
解答题
| 已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数） （1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值； （2）若n∈N*，证明：(
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答案
（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）
（1）∵f（x）=ex-x，∴f'（x）=ex-1．令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）=ex-x在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，f（x）有最小值1
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有ex-x≥1，即1+x≤ex．
令x=-
（n∈N*，k=1，2，，n-1），则0＜1-k n
≤e-k n
，k n
∴(1-
)n≤(e- k n
)n=e-k(k=1，2，，n-1)．k n
即(
)n≤e-k(k=1，2，，n-1)．∵(n-k n
)n=1，n n
∴(
)n+(1 n
)n++(2 n
)n+(n-1 n
)n≤e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1．n n
∵e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1=
＜1-e-n 1-e-1
=1 1-e-1
，e e-1
∴(
)n+(1 n
)n++(2 n
)n+(n-1 n
)n＜n n
．e e-1