（1）证明：设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，从而f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁-x₂）-1＞0．（2分）

f（x₁）=f[x₂+（x₁-x₂）]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1＞f（x₂），

故f（x）在R上是增函数．（4分）

（2）设2=f（b），于是不等式为f(x_-ax+5a)＜f(b)．

则x_-ax+5a＜b，即x_-ax+5a-b＜0．（6分）

∵不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，

∴方程x²-ax+5a-b=0的两根为-3和2，

于是

∴f（1）=2．（8分）

在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1．

所以{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．

f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010．（10分）

（3）a_k=|f（k）-14|=|（k+1）-14|=|k-13|．

设从第k项开始的连续20项之和为T_k，则T_k=a_k+a_k+1+…+a_k+19．

当k≥13时，a_k=|k-13|=k-13，T_k≥T₁₃=0+1+2+3+…+19=190＞102．（11分）

当k＜13时，a_k=|k-13|=13-k．

T_k=（13-k）+（12一k）+…+1+0+1+…+（k+6）=k²一7k+112．

令k²-7k+112=102，解得k=2或k=5．（14分）

（注：当k≥13时，a_k=|k一13|=k一13，令Tk=20(k-13)+