问题
解答题
（1）△ABC中，证明：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA
（2）计算：sin217°+cos247°+sin17°cos47°．
答案
（1）△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA…（*）
又∵
=a sinA
=b sinB
=2R（R是外接圆半径）c sinC
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
代入（*）式，得4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-2•2RsinB•2RsinCcosA
两边约去4R2，得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，原等式成立．
（2）∵cos47°=cos（90°-43°）=sin43°
∴sin217°+cos247°+sin17°cos47°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
设△ABC中，B=17°，C=43°，则A=180°-（17°+43°）=120°
由（1）得：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，
即sin2120°=sin217°+sin243°-2sin17°sin43°cos120°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
∴sin217°+sin243°+sin17°sin43°=sin2120°=（
）2=3 2 3 4
即sin217°+cos247°+sin17°cos47°=
．3 4