问题
解答题
| 设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）=-1 （1）求f（1）和f（
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数． |
答案
（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=
，则 f(1)=f(2×1 2
)=f(2)+f(1 2
)，1 2
∴f(
)=f(1)-f(2)=1（4分）1 2
（2）设0＜x1＜x2，则
＞1x2 x1
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f(
)＜0（6分）x2 x1
f(x2)=f(x1×
)=f(x1)+f(x2 x1
)＜f(x1)（9分）x2 x1
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数（10分）．