问题
解答题
定义在R上的函数y=f（x），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的取值范围；
（3）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．
答案
（1）令m=0，n＞0，则有f（n）=f（0+n）=f（0）•f（n）
又由已知，n＞0时，0＜f（n）＜1，
∴f （0）=1
（2）设x＜0，则-x＞0f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x）=1
则 f(x)=
，1 f(-x)
又∵-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）∈（1，+∞）
（3）f（x）在R上的单调递减
证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2
又x1=（x1-x2）+x2，由已知f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）
∴
=f(x1-x2)…（16分），f(x1) f(x2)
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，由（2）得f（x1-x2）＞1
∴
＞1，又由（1）、（2），f(x1)、f(x2)∈R+，f(x1) f(x2)
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在R上的单调递减