问题
解答题
某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机，2种不同型号的电视机和种不同型号的空调中（不同种商品的型号不同），选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
（Ⅰ）求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号的概率； （Ⅱ）请写出X的分布列，并求X的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？ |
答案
（Ⅰ）设选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号为事件A；
则 P(A)=
=2 C 12
+C 13 C 12 C 12 C 23 C 47
（4分）24 35
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m．
则P（X=0）=
×(C 03
)0×(1 2
)3=1 2
，P（X=m）=1 8
×(C 13
)1×(1 2
)2=1 2
，3 8
P（X=2m）=
×(C 23
)2×(1 2
)1=1 2
，P（X=3m）=3 8
×(C 33
)3×(1 2
)0=1 2
（8分）1 8
所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额K的分布列为：
| X | 0 | m | 2m | 3m | ||||||||
| P |
|
|
|
|
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是EX=0×
+m×1 8
+2m×3 8
+3m×3 8
=1.5m． （10分）1 8
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．（12分）
