已知函数ϕ(x)=
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=
（2）在（1）中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x0）． （3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有
|
（1）f′(x)=
-1 x
=a (x+1)2 x2+(2-a)x+1 x(x+1)2
∵a=
，令f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜9 2 1 2
∴函数f（x）的单调增区间为(0，
)，(2，+∞)；1 2
（2）证明：当a=0时f（x）=lnx
∴f′(x)=1 x
∴f′(x0)=
=1 x0 2 x1+x2
又k=
=f(x2)-f(x1) x2-x1
=lnx2-lnx1 x2-x1 ln x2 x1 x2-x1
不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x0）的大小，
即比较
与ln x2 x1 x2-x1
的大小，2 x1+x2
又∵x2＞x1，
∴即比较ln
与x2 x1
=2(x2-x1) x1+x2
的大小．2(
-1)x2 x1
+1x2 x1
令h(x)=lnx-
(x≥1)，2(x-1) x+1
则h′(x)=
-1 x
=4 (x+1)2
≥0(x-1)2 x(x+1)2
∴h（x）在[1，+∞）上位增函数．
又
＞1，x2 x1
∴h(
)＞h(1)=0，x2 x1
∴ln
＞x2 x1
，2(
-1)x2 x1
+1x2 x1
即k＞f'（x0）；
（3）∵
＜-1，g(x2)-g(x1) x2-x1
∴
＜0g(x2)+x2-[g(x1)+x1] x2-x1
由题意得F（x）=g（x）+x在区间（0，2]上是减函数．
1°当1≤x≤2，F(x)=lnx+
+x，a x+1
∴F′(x)=
-1 x
+1a (x+1)2
由F′(x)≤0⇒a≥
+(x+1)2=x2+3x+(x+1)2 x
+3在x∈[1，2]恒成立．1 x
设m（x）=x2+3x+
+3，x∈[1，2]，则m′(x)=2x-1 x
+3＞01 x2
∴m（x）在[1，2]上为增函数，
∴a≥m(2)=27 2
2°当0＜x＜1，F(x)=-lnx+
+x，a x+1
∴F′(x)=-
-1 x
+1a (x+1)2
由F′(x)≤0⇒a≥-
+(x+1)2=x2+x-(x+1)2 x
-1在x∈（0，1）恒成立1 x
设t（x）=x2+x-
-1，x∈（0，1）为增函数1 x
∴a≥t（1）=0
综上：a的取值范围为a≥
．27 2