问题
解答题
定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意m>0,n∈R有f(mn)=nf(m),且当0<x<1时f(x)<0
(1)求f(1);
(2)证明:当x>1时f(x)>0;
(3)证明:函数f(x)在(0,+∞)上递增.
答案
(1)取m=1,n=2得f(12)=2f(1),
∴f(1)=0
(2)证明:设x>1,则0<
<1,又0<x<1时,f(x)<0,1 x
∴f(
)<01 x
∵m>0,n∈R有f(mn)=nf(m),
∴f(
)=f(x-1)=-f(x)<01 x
∴f(x)>0
即x>1时,f(x)>0
(3)证明:∵f(mα+β)=f(mα×mβ)=(α+β)f(m)=αf(m)+βf(m)=f(mα)+f(mβ),
记mα=x>0,mβ=y>0,则f(xy)=f(x)+f(y),
设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(
×x2)-f(x2)=f(x1 x2
)<0即f(x1)<f(x2),x1 x2
故函数f(x)在(0,+∞)上单增.