（1）取m=1，n=2得f（1²）=2f（1），

∴f（1）=0

（2）证明：设x＞1，则0＜

1

x

＜1，又0＜x＜1时，f（x）＜0，

∴f(

1

x

)＜0

∵m＞0，n∈R有f（mⁿ）=nf（m），

∴f(

1

x

)=f(x-1)=-f(x)＜0

∴f（x）＞0

即x＞1时，f（x）＞0

（3）证明：∵f（m^α+β）=f（m^α×m^β）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（m^α）+f（m^β），

记m^α=x＞0，m^β=y＞0，则f（xy）=f（x）+f（y），

设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

×x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0即f（x₁）＜f（x₂），

故函数f（x）在（0，+∞）上单增．