问题
解答题
定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意m＞0，n∈R有f（mn）=nf（m），且当0＜x＜1时f（x）＜0
（1）求f（1）；
（2）证明：当x＞1时f（x）＞0；
（3）证明：函数f（x）在（0，+∞）上递增．
答案
（1）取m=1，n=2得f（12）=2f（1），
∴f（1）=0
（2）证明：设x＞1，则0＜
＜1，又0＜x＜1时，f（x）＜0，1 x
∴f(
)＜01 x
∵m＞0，n∈R有f（mn）=nf（m），
∴f(
)=f(x-1)=-f(x)＜01 x
∴f（x）＞0
即x＞1时，f（x）＞0
（3）证明：∵f（mα+β）=f（mα×mβ）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（mα）+f（mβ），
记mα=x＞0，mβ=y＞0，则f（xy）=f（x）+f（y），
设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=f(
×x2)-f(x2)=f(x1 x2
)＜0即f（x1）＜f（x2），x1 x2
故函数f（x）在（0，+∞）上单增．