问题 解答题

定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意m>0,n∈R有f(mn)=nf(m),且当0<x<1时f(x)<0

(1)求f(1);

(2)证明:当x>1时f(x)>0;

(3)证明:函数f(x)在(0,+∞)上递增.

答案

(1)取m=1,n=2得f(12)=2f(1),

∴f(1)=0

(2)证明:设x>1,则0<

1
x
<1,又0<x<1时,f(x)<0,

f(

1
x
)<0

∵m>0,n∈R有f(mn)=nf(m),

f(

1
x
)=f(x-1)=-f(x)<0

∴f(x)>0

即x>1时,f(x)>0

(3)证明:∵f(mα+β)=f(mα×mβ)=(α+β)f(m)=αf(m)+βf(m)=f(mα)+f(mβ),

记mα=x>0,mβ=y>0,则f(xy)=f(x)+f(y),

设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(

x1
x2
×x2)-f(x2)=f(
x1
x2
)<0即f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在(0,+∞)上单增.

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