问题 解答题

定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意m>0,n∈R有f(mn)=nf(m),且当0<x<1时f(x)<0

(1)求f(1);

(2)证明:当x>1时f(x)>0;

(3)证明:函数f(x)在(0,+∞)上递增.

答案

(1)取m=1,n=2得f(12)=2f(1),

∴f(1)=0

(2)证明:设x>1,则0<

1
x
<1,又0<x<1时,f(x)<0,

f(

1
x
)<0

∵m>0,n∈R有f(mn)=nf(m),

f(

1
x
)=f(x-1)=-f(x)<0

∴f(x)>0

即x>1时,f(x)>0

(3)证明:∵f(mα+β)=f(mα×mβ)=(α+β)f(m)=αf(m)+βf(m)=f(mα)+f(mβ),

记mα=x>0,mβ=y>0,则f(xy)=f(x)+f(y),

设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(

x1
x2
×x2)-f(x2)=f(
x1
x2
)<0即f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在(0,+∞)上单增.

单项选择题


吴芳是一家医院的医生,事业有成,但是家有一对双胞胎女儿,为了以后她们能更好的上学和自己家庭的幸福,想作一个理财规划。假如你接到了他们的请求,经过初步沟通面谈后,获得了以下家庭、职业与财务信息,你将作出怎么样的理财协助规划
一、案例成员
家庭成员姓名年龄职业
爸爸李明76高中教师
妈妈吴芳45医生
双胞胎女儿李小雨16高一
双胞胎女儿李小琴16高一
二、家庭资产负债表                  表1 家庭资产负债情况 (单位:万元)
家庭资产家庭负债
现金及活存3.5房屋贷款(余额)0
定期性存款12汽车贷款(余额)0
股票0消费贷款(余额)0
债券2.5信用卡未付款0
房地产(自用)130其他0
资产总计148负债总计0
净值(资产-负债)148
三、家庭收支表                     表2 每月收支状况 (单位:元)
每月收入每月支出
本人2500基本生活开销2500
配偶收入5000子女教育1800
合计7500合计 4300
每月结余(收入-支出)32000

                 表3 年度性收支状况 (单位:元)
收入支出
年终奖金15000(其中吴女士5000)保险费0
存款、债券利息3000产险0
股利、股息0其他(人情等)5000
合计18000合计 5000
每年结余(收入-支出)13000
四、理财目标
1.家庭保险规划:购买商业保险;
2.积累教育金:重点高中学费6500元/年,大学学费和生活费现值1.7万元/年;
3.子女婚嫁金准备:两子女10年后结婚,两人婚嫁金的现值为20万元;
4.积累养老金:退休生活水平为现在的七成,医疗费用现值为1000元/月。吴女士55岁退休,其先生60岁退休,都生活到80周岁。
五、假设条件
通货膨胀为3%,学费成长率为4%,工资成长率为4%,工资替代率为30%,婚嫁金增长率为3%,投资回报率为5%。

吴女士先生退休后,第一年的养老需求为( )万元。

A.5.23

B.5.52

C.7.23

D.8.23

填空题