问题
解答题
已知函数f(x)=(
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值； （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围； （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）． 求证：f1(x)+f2(x)＞
|
答案
（1）当a=1，b=2时，f(x)=(x-1)2+(
-1)2=（x2+2 x
）-2（x+4 x2
）+22 x
令x+
=t（t≥22 x
），y=t2-2t-2=（t-1）2-32
∴函数在[2
，+∞）上单调增，∴y≥6-42 2
∴f（x）的最小值为6-4
；2
（2）f（x）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，等价于f（x）min≥2m-1
f(x)=(
-1)2+(x a
-1)2=(b x
+x a
)2-2（b x
+x a
）-b x
+22b a
令
+x a
=t（t≥2b x
），则y=t2-2t-b a
+22b a
∴函数在[2
，+∞）上单调增，∴y≥2(b a
-2b a
+1)＞0b a
∴0≥2m-1
∴m≤0；
（3）因为
（a2+b2）≥(1 2
)2，所以(a+b 2
-1)2+(x a
-1)2＞b x
(1 2
+x a
-2)2＞2(b x
-1)2b a
当a=k2，b=（k+c）2时，
=(1+b a
)2；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，c k
=(1+b a
)2c k+c
所以f1（x）+f2（x）＞2（
）2+2（c k
）2）＞c k+c
（因为0＜a＜b，所以等号取不到）4c2 k(k+c)