解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，

由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，

∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r²=2b²，

又圆P截y轴所得的的弦长为2，

所以有r²=a²+1，从而得2b²-a²=1，

又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，

所以5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)=2b²-a²=1，

当且仅当a=b时，上式等号成立，

从而要使d取得最小值，则应有，

解此方程组得，

又由r²=2b²知r=，

于是，所求圆的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2。