问题
解答题
已知函数f（x）=2
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若t=3，且f（A）=-1，b+c=2，求a的最小值． |
答案
（I）∵sinxcosx=
sin2x，cos2x=1 2
（1+cos2x）1 2
∴f（x）=2
sinxcosx+2cos2x-t=3
sin2x+cos2x+1-t3
=2（sin2xcos
+cos2xsinπ 6
）+1-t=2sin（2x+π 6
）+1-tπ 6
当x∈[0，
]时，2x+π 2
∈[π 6
，π 6
]，可得-7π 6
≤sin（2x+1 2
）≤1π 6
∴方程f（x）=0有解，即
，解之得0≤t≤3；-1+1-t≤0 2+1-t≥0
（II）∵t=3，
∴f（x）=2sin（2x+
）+1-t=2sin（2x+π 6
）-2π 6
可得f（A）=2sin（2A+
）-2=-1，sin（2A+π 6
）=π 6 1 2
∵A是三角形的内角，∴A=π 3
根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos
=（b+c）2-3bcπ 3
∵b+c=2，可得bc≤（
）2=1b+c 2
∴a2=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3=22-3=1
即当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．