（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（-

a(a-1)

，0），（0，

a(a-1)

）；

②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）；

③当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-

a(a-1)

），（

a(a-1)

，+∞）．

（2）由题设及（1）中③知

a(a-1)

=

6

，且a＞1，解得a=3，因此函数解析式为f（x）=

3 x

3

+

2 3

x

（ x≠0）．

（3）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x，y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0）．

设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P′（p′，q′）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p′，q≠q′，

则P′也在曲线C上，由此得

q+q/

2

=k•

p+p/

2

，

q-q/

p-p/

=-

1

k

，

且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p/

3

+

2 3

p/

，整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

．

所以存在经过原点的直线y=

3

x及y=-

3

3

x为曲线C的对称轴．