问题 解答题
选修4-5:不等式选讲定义min{a,b}=
a,a≤b
b,a>b
,求函数f(x)=min{|x-2|+|2x+1|,-x2+3x+3}的最大值.
答案

根据绝对值的意义,可得|x-2|+|2x+1|=

3x-1    x≥2
x+3     -
1
2
<x<2
-3x+1    x≤-
1
2
…(3分)

①当x≥2时-x2+3x+3-(3x-1)=-x2+4≤0成立,此时|x-2|+|2x+1|>-x2+3x+3,∴f(x)=-x2+3x+3;

②当-

1
2
<x<2时,-x2+3x+3-(x+3)=-x2+2x≤0在(-
1
2
,0)成立,此时f(x)=-x2+3x+3.

-x2+3x+3-(x+3)=-x2+2x≥0在[0,2)成立,此时f(x)=x+3;

③当x≤-

1
2
时,-x2+3x+3-(-3x+1)=-x2+6x+2≤0在(-∞,-
1
2
]成立,此时f(x)=-x2+3x+3;

所以f(x)=

-x2+3x+3      x≤0
x+3        0<x<2
-x2+3x+3     x≥2
,…(6分)

可得函数在(-∞,0),(0,2)上是增函数,在(2,+∞)上是减函数

因此,当x≤0时,f(x)≤f(0)=3;当0<x<2时,f(x)<f(2)=5;当x≥2时,f(x)≤f(2)=5.

综上所述,可得f(x)最大值为5. …(10分)

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