选修4-5:不等式选讲定义min{a,b}=
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根据绝对值的意义,可得|x-2|+|2x+1|=
…(3分)3x-1 x≥2 x+3 -
<x<21 2 -3x+1 x≤- 1 2
①当x≥2时-x2+3x+3-(3x-1)=-x2+4≤0成立,此时|x-2|+|2x+1|>-x2+3x+3,∴f(x)=-x2+3x+3;
②当-
<x<2时,-x2+3x+3-(x+3)=-x2+2x≤0在(-1 2
,0)成立,此时f(x)=-x2+3x+3.1 2
-x2+3x+3-(x+3)=-x2+2x≥0在[0,2)成立,此时f(x)=x+3;
③当x≤-
时,-x2+3x+3-(-3x+1)=-x2+6x+2≤0在(-∞,-1 2
]成立,此时f(x)=-x2+3x+3;1 2
所以f(x)=
,…(6分)-x2+3x+3 x≤0 x+3 0<x<2 -x2+3x+3 x≥2
可得函数在(-∞,0),(0,2)上是增函数,在(2,+∞)上是减函数
因此,当x≤0时,f(x)≤f(0)=3;当0<x<2时,f(x)<f(2)=5;当x≥2时,f(x)≤f(2)=5.
综上所述,可得f(x)最大值为5. …(10分)