问题
解答题
现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值； （Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系； （Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x． |
答案
（Ⅰ）f(0)=
| a0 |
| a0+a1+a2+a3+a4+a5 |
f(1)=
| a0+a1+a2+a3+a4+a5 |
| a0+a1+a2+a3+a4+a5 |
（Ⅱ）kn=
| yn-yn-1 |
| xn-xn-1 |
| 5 |
| T |
因为 a0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
所以 k1＜k2＜k3＜k4＜k5． …（8分）
（Ⅲ）证：由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）．…（9分）
事实上，当x∈（xn-1，xn）时，f(x)=
| f(xn)-f(xn-1) |
| xn-xn-1 |
| xn-x |
| xn-xn-1 |
| x-xn-1 |
| xn-xn-1 |
| xn-x |
| xn-xn-1 |
| x-xn-1 |
| xn-xn-1 |
下面证明f（xn）＜xn．
法一：对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+a2+…+an）=[n+（5-n）]（a1+a2+…+an）…（10分）=n（a1+a2+…+an）+（5-n）（a1+a2+…+an）≤n（a1+a2+…+an）+（5-n）nan…（11分）=n[a1+a2+…+an+（5-n）an]＜n（a1+a2+…+an+an+1+…+a5）=nT…（12分）
所以 f(xn)=
| a1+a2+…+an |
| T |
| n |
| 5 |
法二：对任何n（n=1，2，3，4），
当kn＜1时，yn=（y1-y0）+（y2-y1）+…+（yn-yn-1）=
| 1 |
| 5 |
| n |
| 5 |
当kn≥1时，yn=y5-（y5-yn）=1-[（yn+1-yn）+（yn+2-yn+1）+…+（y5-y4）]=1-
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| n |
| 5 |
综上，f（xn）＜xn． …（13分）