∵方程可以变为（x-2m）（2x-m）=5，

而5=5×1=（-5）×（-1），

并且方程的两根为整数，m也为整数，

∴x-2m=5，2x-m=1；

x-2m=1，2x-m=5；

x-2m=-5，2x-m=-1；

x-2m=-1，2x-m=-5；

∴m=±1或m=±3．

故选D．