答案：C

列举矩形的性质和菱形的性质，根据性质求出即可．

解：矩形的性质是：矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且平分，

菱形的性质是：菱形的四条边都相等，对边平行，对角线垂直且平分，每条对角线平分一组对角，

∴菱形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．

故选C．

本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．