（1）由二次函数图象的对称性，可设f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，

又f（0）=0，∴a=1

∴f（x）=x²-x；

（2）g（x）=ln x-f（x）f′（x）=lnx-（x²-x）（2x-1），

∴g′（x）=

1

x

-6x²+6x-1=（1-x）（6x²+1）（x＞0）

∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0

∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减

∴x=1时，函数g（x）取得最大值为0；

（3）对任意正数x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1nm，等价于对任意正数x，恒有（x2+

1

x2

）-（x+

1

x

）≥（x+

1

x

）1nm，

令t=x+

1

x

（t≥2），则x2+

1

x2

=t²-2

∴对任意正数x，恒有t²-2-t≥tlnm

∴lnm≤t-

2

t

-1

∵t≥2，∴t-

2

t

-1≥0

∴lnm≤0

∴0＜m≤1．