已知复数：z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记

问题解答题

已知复数：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数．

（1）求k的值；

（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值．

答案

（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi

∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）

=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i

f（x）=log₂（2^x+1）+kx

设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数

得：f（-x）=f（x）恒成立

∴log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx

2kx=log₂（

2-x-1

2x+1

）=-x

（2k+1）x=0

得：k=-

（2）由（1）可知f（x）=log₂（2^x+1）-

x，

所以y=f（log₂x）=log₂（x+1）-

log₂x=log₂

x+1

log

(

，

所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R时，

ymin=

log2(

)(0＜a≤1)

1(a＞1)