问题
解答题
已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．
答案
（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2-OQ2．
由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即 （a2+b2）-1=（a-2）2+（b-1）2．
花简可得 2a+b-3=0．
（2）∵PQ=
=a2+b2-1
=a2+(-2a+3)2-1
=5a2-12a+8
，5(a-
)2+6 5 4 5
故当a=
时，线段PQ取得最小值为6 5
．2 5 5
（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R-1|≤PO≤R+1．
而OP=
=a2+b2
=a2+(-2a+3)2
，故当a=5(a-
)2+6 5 9 5
时，PO取得最小值为6 5
，3 5 5
此时，b=-2a+3=
，R取得最小值为3 5
-1．3 5 5
故半径最小时⊙P 的方程为 (x-
)2+(y-6 5
)2=(3 5
-1)2．3 5 5