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问题 解答题
已知向量
m
=(
3
cos
x
4
，cos
x
4
)，
n
=(sin
x
4
，cos
x
4
)，函数f（x）=
m
•
n
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+
1
2
c=b，求f（2B）的取值范围．
答案

（Ⅰ）∵函数f（x）=

m
•
n
=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
x
+
1
2
=sin（
x
2
+
π
6
）+
1
2
，

故函数的最小正周期为

2π
1
2
=4π．

令 2kπ+

π
2
≤
x
2
+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得  4kπ+
2π
3
≤x≤4kπ+
8π
3
，k∈z，

故函数的单调减区间为[4kπ+

2π
3
，4kπ+
8π
3
]，k∈z．

（Ⅱ）在锐角△ABC中，∵acosC+

1
2
c=b，由余弦定理可得 a•
a2+b2-c2
2ab
+
c
2
=b．

化简可得b2+c2-a2=bc，∴cosA=

b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，∴A=
π
3
．

∴B+C=

2π
3
，∴
2π
3
-
π
2
=
π
6
＜B＜
π
2
，∴
π
3
＜B+
π
6
＜
2π
3
，∴
3
2
＜sin（B+
π
6
）≤1

f（2B）=sin（B+

π
6
）+
1
2
∈（
1+
3
2
，
3
2
]，即f（2B）的取值范围为（
1+
3
2
，
3
2
]．

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