已知函数F(x)=
（Ⅰ）证明：F（x）+F（1-x）=3，并求F(
（Ⅱ）．已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，已知a1=2，数列{bn}的公差为d=2．探究在数列{an}与{bn}中是否有相等的项，若有，求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{cn}的通项公式；若没有，请说明理由． |
（Ⅰ）因为F(x)+F(1-x)=
+3x+1 2x-1
=3（2分）3(1-x)+1 2(1-x)-1
所以设S=F(
)+F(1 2009
)++F(2 2009
)；（1）2008 2009
S=F(
)+F(2008 2009
)++F(2007 2009
)（2）1 2009
（1）+（2）得：2S={F(
)+F(1 2009
)}+{F(2008 2009
)+F(2 2009
)}++{F(2007 2009
)+F(2008 2009
)}1 2009
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因为S2n-1=
=(a1+a2n-1)(2n-1) 2
=(2n-1)an(an+an)(2n-1) 2
所以an=
；同理bn=S2n-1 2n-1
．（7分）T2n-1 2n-1
所以
=an bn
；S2n-1 T2n-1
=am bm S2n-1 T2n-1
所以当m＞n≥1时，
-am bm
=an bn
-S2m-1 T2m-1
=S2n-1 T2n-1
-3(2m-1)+1 2(2m-1)-1 3(2n-1)+1 2(2n-1)-1
=
-6m-2 4m-3
=6n-2 4n-3 (6m-2)(4n-3)-(6n-2)(4m-3) (4m-3)(4n-3)
=
＜0，∴10(n-m) (4m-3)(4n-3)
＜am bm
（10分）an bn
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当a1=2，d=2时
=Sn Tn
=2n+ n(n-1)d1 2 nb1+ n(n-1)•2 2
=d1n-d1+4 2n-2+2b1 3n+1 2n-1
所以{-2+2b1=-1
d1=3
d1=3
所以an=2+(n-1)×3=3n-1；bn=
+(n-1)×2=2n-1 2
（12分）3 2
假若存在数列{an}中的第n项与数列{bn}中的第k项相等，
即an=bk⇒3n-1=2k-
⇒n=3 2 4k-1 6
因为4k-1为奇数，6为偶数，所以n=
不是整数，4k-1 6
所以在数列{an}与{bn}中没有相等的项．（14分）