问题 解答题
已知一个两位数,其十位与个位数字分别为p、q,二次函数y=x2+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B,顶点为C,且S△ABC≤1,
(1)求q2-4p的取值范围;
(2)求出所有这样的两位数
.
pq
答案

(1)设A(x1,0),B(x2,0),(x1≠x2),

则x1、x2是方程x2+qx+p=0的两个不同的实根,

所以x1+x2=-q,x1x2=p,q2-4p>0,

yc=

4p-q2
4
(yc表示点C的纵坐标),所以

S△ABC=

1
2
|x1-x2|•|yc|=
1
2
q2-4p
•|
4p-q2
4
|≤1,

从而(q2-4p)3≤64,q2-4p≤4,

故0<q2-4p≤4;

(2)由(1)知,q2-4p=1,2,3,4,

因为q2被4除余数为0或1,

故q2-4p被4除余数也是0或1,

从而q2-4p=1,或q2-4p=4,

这两个方程中符合题意的整数解有:

p=2
q=3
p=6
q=5
p=3
q=4
p=8
q=6

故所有两位数

.
pq
为23,65,34,86.

判断题
问答题