问题
解答题
| 已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）． （1）用函数单调性的定义证明：F（x）是R上的增函数； （2）证明：函数y=F（x）的图象关于点（
|
答案
（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则F（x1）-F（x2）
=f（x1）-f（a-x1）-[f（x2）-f（a-x2）]．
=[f（x1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]．
∵x1＜x2，∴-x1＞-x2，∴a-x1＞a-x2，
∵函数f（x）是定义在R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），f（a-x2）＜f（a-x1）．
∴f（x1）-f（x2）＜0，f（a-x2）-f（a-x1）＜0．
∴[f（x1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]＜0．
即F（x1）＜F（x2），
∴F（x）是R上的增函数．
（2）设M（x0，y0）为函数y=F（x）的图象上任一点，设点M（x0，y0）关于点（
，0）的对称点为N（m，n），a 2
则
=a 2
，0=x0+m 2
，，∴m=a-x0，n=-y0，y0+n 2
∵把m=a-x0代入F（x）=f（x）-f（a-x）．
得，f（a-x0）-f（a-a+x0）=f（a-x0）-f（x0）=-y0=n
即点N（m，n）在函数F（x）的图象上．
∴函数y=F（x）的图象关于点（
，0）成中心对称图形．a 2