设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有f′(x)＞
（1）判断函数F(x)=
（2）设x1，x2∈（0，+∞），比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小，并证明你的结论； （3）设x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x1）+f（x2）+…+f（xn）与f（x1+x2+…+xn）的大小，并证明你的结论． |
（1）由于f′(x)＞
得，f(x) x
＞0，而x＞0，xf′(x)-f(x) x
则xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=
＞0，因此F(x)=xf′(x)-f(x) x2
在（0，+∞）上是增函数．f(x) x
（2）由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2，而F(x)=
在（0，+∞）上是增函数，则F（x1）＜F（x1+x2），即f(x) x
＜f(x1) x1
，f(x1+x2) x1+x2
∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），同理 （x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2）
（1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0，
因此 f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．
（3）证法1：由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2+…+xn，而F(x)=
在（0，+∞）上是增函数，则F（x1）＜F（x1+x2+…+xn），f(x) x
即
＜f(x1) x1
，f(x1+x2+…+xn) x1+x2…+xn
∴（x1+x2+…+xn）f（x1）＞x1f（x1+x2+…+xn）
同理 （x1+x2+…+xn）f（x2）＞x2f（x1+x2+…+xn）…（x1+x2+…+xn）f（xn）＞xnf（x1+x2+…+xn）
以上n个不等式相加得：（x1+x2+…+xn）[f（x1）+f（x2）+…f（xn）]＞（x1+x2+…+xn）f（x1+x2+…+xn）
而x1+x2+…+xn＞0，f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）．
证法2：数学归纳法
①当n=2时，由（2）知，不等式成立；
②当n=k（n≥2）时，不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）成立，
即f（x1）+f（x2）+…f（xk）＞f（x1+x2+…+xk）成立，
则当n=k+1时，f（x1）+f（x2）+…f（xk）+f（xk+1）＞f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）
再由（2）的结论，f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f[（x1+x2+…+xk）+xk+1]f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f（x1+x2+…+xk+xk+1）
因此不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）对任意n≥2的自然数均成立