问题 解答题
设△ABC三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量
p
=(a,2b),
q
=(sinA,1),且
p
q

(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若△ABC是锐角三角形,
m
=(cosA,cosB),
n
=(1,sinA-cosAtanB),求
m
n
的取值范围.
答案

(Ⅰ)∵

p
=(a,2b),
q
=(sinA,1),且
p
q

∴a-2bsinA=0,由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0.(3分)

∵0<A,B,C<π,∴sinB=

1
2
,得B=
π
6
或B=
6
.(6分)

(Ⅱ)∵△ABC是锐角三角形,

∴B=

π
6
m
=(cosA,
3
2
),
n
=(1,sinA-
3
3
cosA),

于是

m
n
=cosA+
3
2
(sinA-
3
3
cosA)=
1
2
cosA+
3
2
sinA=sin(A+
π
6
).(9分)

由A+C=π-B=

6
及0<C<
π
2
,得A=
6
-C∈(
π
3
6
).

结合0<A<

π
2
,∴
π
3
<A<
π
2
,得
π
2
<A+
π
6
3

3
2
<sin(A+
π
6
)<1,即
3
2
m
n
<1.(12分)

单项选择题
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