已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右准

问题解答题

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右准线上l上存在点A（点A在x轴上方），使△AF₁F₂为等腰三角形．
（1）求离心率e的范围；
（2）若椭圆上的点(1，

)到两焦点F₁，F₂的距离之和为2

，求△AF₁F₂的内切圆的方程．

答案

（1）由题意有F1(-c，0)，F2(c，0)，l：x=

．（2分）

设A(

，y0)，由△AF₁F₂为等腰三角形，则只能是F₁F₂=F₂A，又F2A＞

-c，

即2c＞

-c，所以

＜e＜1．（6分）

（2）由题意得椭圆的方程为

+y2=1，其离心率为

＞

，此时F₁（-1，0），F₂（1，0），l：x=2．

由F₁F₂=F₂A，可得y0=

．（10分）

设内切圆的圆心B（x₁，y₁），AF1：x-

y+1=0，BF2：y=-

(x-1)，

因为△AF₁F₂为等腰三角形，所以△AF₁F₂的内切圆的圆心点B到AF₁的距离等于点B到x轴的距离，即

-x1+

y1+1

=y1，①

由点B在直线BF₂上，所以y1=-

(x1-1)，②

由①②可得

x1=

-1

y1=2

-3

所以△AF₁F₂的内切圆的方程为(x+1-

)2+(y+3-2

)2=(2

-3)2．（16分）