问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求实数a和b的值； （2）判断函数y=f（x）在（1，+∞）的单调性，并利用定义加以证明． |
答案
（1）∵f（x）=
是奇函数，x+a x2+bx+1
∴f（0）=
=0，0+a 02+0•x+1
∴a=0；…（2分）
又因f（-x）=-f（x），即
=--x (-x)2+b(-x)+1
，x x2+bx+1
∴b=0…（4分）
（2）函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减…．（6分）
证明：任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=
-x1 x12+1
=x2 x22+1 x1x22+x1-x12x2+x2 (x12+1)(x22+1)
=
，…（8分）(x1-x2)(1-x1x2) (x12+1)(x22+1)
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0；
∵x1＞1，x2＞1，
∴1-x1x2＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2）…（10分）
函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减…（12分）