在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB=12

问题解答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB=

c．
（I）求证：tanB=3tanA；
（Ⅱ）若tanC=2，求角A的值．

答案

（I）△ABC中，bcos A-acosB=

c，

由正弦定理可得 sinBcosA-sinAcosB=

sinC=

sin（A+B），

∴2sinBcosA-2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，化简可得sinBcosA=3sinAcosB．

又cosA＞0，cosB＞0，即A、B都是锐角，从而可得tanB=3tanA．

（Ⅱ）∵tanC=2，∴tan（A+B）=-2，即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-2，再把tanB=3tanA代入可得tanA=1，tanA=-

（舍去），

∴A=

．