问题
解答题
设定义域为R的奇函数y=f(x)在区间(-∞,0)上是减函数.
(1)求证:函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数;
(2)试构造一个满足上述题意且在(-∞,+∞)内不是单调递减的函数.(不必证明)
答案
(1)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则0>-x1>-x2(2分)
由y=f(x)在区间(-∞,0)上是单调递减函数,有f(-x1)<f(-x2),(3分)
又由y=f(x)是奇函数,有-f(x1)<-f(x2),即f(x1)>f(x2). (3分)
所以,函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (1分)
(2)如函数f(x)=
满足在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调减函数,-x+2,x>0 0,x=0 -x-2,x<0.
但在(-∞,+∞)内不是单调递减的函数 (6分)