问题 解答题

设定义域为R的奇函数y=f(x)在区间(-∞,0)上是减函数.

(1)求证:函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数;

(2)试构造一个满足上述题意且在(-∞,+∞)内不是单调递减的函数.(不必证明)

答案

(1)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则0>-x1>-x2(2分)

由y=f(x)在区间(-∞,0)上是单调递减函数,有f(-x1)<f(-x2),(3分)

又由y=f(x)是奇函数,有-f(x1)<-f(x2),即f(x1)>f(x2).         (3分)

所以,函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.                   (1分)

(2)如函数f(x)=

-x+2,x>0
0,x=0
-x-2,x<0.
满足在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调减函数,

但在(-∞,+∞)内不是单调递减的函数       (6分)

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