问题
解答题
已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+
（1）求f（1）； （2）求和f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）； （3）判断函数f（x）的单调性并证明． |
答案
（1）f（1）=f（
）+f（1 2
）+1 2
=0+0+1 2
=1 2
，（2分）1 2
（2）∵f（2）=f（1）+f（1）+
=3×1 2
，1 2
f（3）=f（2）+f（1）=5×
，…1 2
f（n）=（2n-1）×
，1 2
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=
（1+3+5+…（2n-1））=1 2
n2（7分）1 2
（3）f（x）=（ 2x-1）×
=x-1 2
，在其定义域内是增函数，1 2
证明：设 a＜b，f（b）-f（a）=（b-
）-（a-1 2
）=b-a，由题设知，b-a＞0，1 2
∴f（b）-f（a）＞0，f（b），＞f（a），∴f（x）在其定义域内是增函数．