（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1

又∵f（-1）=-f（1）

∴

1-2-1

2-1+a

=-

1-2

2 +a

，解之得a=1

经检验当a=1且b=1时，f（x）=

1-2x

2x+1

，满足f（-x）=-f（x）是奇函数．    …（4分）

（2）由（1）得f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，

任取实数x₁、x₂，且x₁＜x₂

则f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；     …（8分）

（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数．

∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）

也就是：t²-2t＞-2t²+k对任意的t∈R都成立．

变量分离，得k＜3t²-2t对任意的t∈R都成立，

∵3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

，当t=

1

3

时有最小值为-

1

3

∴k＜-

1

3

，即k的范围是（∞，-

1

3

）．                                  …（12分）